定义

对于一般的度量空间 (X,d)，其完备化是指：

存在由 (X,d) 构造的完备度量空间 (X^*,d^*) 和等距映射 h:(X,d)\rightarrow (X^*,d^*) ,使 h(X) 在 (X^*,d^*) 中稠密。二元组 ((X^*,d^*),h) 称作 (X,d) 的完备化。

注意：

这里用 ((X^*,d^*),h) 表示的意图在于强调 X 可由映射 h 引入 X^* ,即 h(X) 是 X^* 的子集。完备化完成后，通常我们把 h(X) 和 X 看做同一集合。例如 \mathbb{Q} 中的元素和 \mathbb{R} 中的有理数我们通常看成同一集合。

构造法

这里我们给出 (X^*,d^*) 的一般构造手法。
(X,d) 的柯西列全体集合设为 E ，对于 E 中两个元素 \{x_n\},\{y_n\} ,定义如下满足关系：
\{x_n\}\sim\{y_n\} :\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}{d(x_n,y_n)=0}
设 X^*:=E/\sim ,对于 X^* 中的两元素 [\{x_n\}],[\{y_n\}] 其上度量如下定义：
d^*([\{x_n\}],[\{y_n\}]):=\lim_{n\rightarrow\infty}{d(x_n,y_n)}

h 定义为：
x\mapsto [\{x_n\}],\quad\forall n\in\mathbb{N},x_n:=x

至此，就完成了 ((X^*,d^*),h) 的构造。

中梓星音

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